初等数论及其应用 - 第一章

算术基本定理:没个正整数可以按递增次序唯一地写成素数的乘积

现代数论的发展始于高斯

二次互反律 这个定律把素数$p$是否为模另一个素数$q$的完全平方与$q$是否为$p$的完全平方联系起来

找出大素数和分解大数在时间上的强反差是$RSA$密码系统的基石

$RSA$系统中,用户公私两把秘钥,每个用户可以用别人的公钥来加密信息,但只有拥有相应私钥的用户才能解密

一个方程若要求解为整数,则成为丢番图方程

费马大定理
若$n$是大于$2$的整数,这个方程没有整数解$(x, y, z)$,这里$xyz \neq 0$

1995年由怀尔斯(Wiles)给出第一个证明

梅森(Mersenne)素数 形为$2^p - 1$

看起来就是BOINC里面的某个项目= =

动手实验是研究数论所不可缺少的一部分

数学归纳法是数论(和许多数学分支)的最重要证明方法之一

整数在数论的研究中扮演着重要的角色

良序性质(The Well-Ordering Property) 每个非空的正整数集合都有一个最小元

良序性质可以作为定义正整数集合的公理

如果存在整数$p$和$q \neq 0$,使得$r=\fracpq$,则称实数$r$是有理数。如果$r$不是有理的,啧称为无理数

证明$\sqrt(2)$是无理数

假设

数$\alpha$称为代数数,如果它是整数系多项式的根;也就是说,$\alpha$是代数数,如果存在整数$a0, \cdots, a_n$,使得$a_n\alpha^n+a{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_0 = 0.$如果$\alpha不是代数数,称之为超越数$